Modelo Binomial de Cox, Ross e Rubinstein

1. Introdução ao Modelo Binomial

O modelo binomial de Cox, Ross e Rubinstein (1979) é uma abordagem fundamental para o apreçamento de opções financeiras. Este modelo permite calcular o valor justo de uma opção com base nas possíveis variações do ativo-objeto seguindo um processo binomial (dois possíveis estados em cada período). É considerado uma técnica de apreçamento discreta, diferentemente do modelo contínuo de Black-Scholes, embora ambos cheguem a resultados equivalentes quando o número de passos no modelo binomial tende ao infinito.

Principais desenvolvedores do modelo:

• John C. Cox (Sloan School of Management, MIT) – Especialista em economia financeira, teoria de precificação de ativos e gestão de riscos.
• Stephen Ross (Yale University, posteriormente MIT) – Conhecido pelo desenvolvimento da Teoria de Arbitragem de Preços (APT) e outras contribuições fundamentais para as finanças modernas.
• Mark Rubinstein (University of California, Berkeley) – Pioneiro em finanças computacionais e derivativos, ampliou significativamente a aplicação prática do modelo binomial.

Seu trabalho seminal “Option Pricing: A Simplified Approach” foi publicado no Journal of Financial Economics em 1979 e se tornou uma das bases fundamentais para a precificação de derivativos financeiros.

Contexto Histórico

O modelo CRR surgiu três anos após a publicação do revolucionário trabalho de Black e Scholes (1973), oferecendo uma abordagem computacionalmente mais simples e intuitiva para precificar opções. Enquanto o modelo de Black-Scholes utilizava equações diferenciais parciais, o modelo binomial de Cox, Ross e Rubinstein empregava uma estrutura discreta que poderia ser facilmente implementada em computadores, facilitando sua adoção por profissionais do mercado financeiro.

O modelo se baseia em algumas premissas importantes:

• O preço do ativo-objeto segue um processo binomial (sobe ou desce)
• Não há oportunidades de arbitragem no mercado
• Os investidores podem emprestar e tomar emprestado à taxa livre de risco
• Não há custos de transação ou impostos
• O mercado é perfeitamente divisível (é possível negociar frações de ativos)
• Os ativos são perfeitamente líquidos e negociáveis a qualquer momento
• A volatilidade do ativo-objeto é constante durante a vida da opção

Vantagens do Modelo Binomial

• Flexibilidade: Pode precificar opções europeias, americanas e exóticas
• Transparência: Permite visualizar o valor da opção em cada nó da árvore
• Didático: Facilita a compreensão intuitiva do processo de precificação
• Adaptabilidade: Permite incorporar dividendos, alterações na volatilidade e outras características específicas

Figura 1: Representação do processo binomial de um período com setas direcionais indicando movimentos de alta (45° para cima) e baixa (45° para baixo)

2. Conceitos Fundamentais do Modelo

O modelo binomial assume que o preço do ativo-objeto pode seguir dois caminhos possíveis em cada período: subir por um fator multiplicativo u ou descer por um fator multiplicativo d. Esta estrutura permite construir uma árvore de possíveis preços futuros do ativo.

Preço no estado de alta: S₀u

Preço no estado de baixa: S₀d

Onde: S₀ = preço inicial do ativo, u = fator de subida, d = fator de descida

Parâmetros do Modelo

Os fatores de alta (u) e baixa (d) são determinados com base na volatilidade do ativo subjacente (σ) e no intervalo de tempo (Δt):

u = e^σ√Δt

d = e^-σ√Δt = 1/u

Observe que u e d são simétricos (d = 1/u), o que garante que o movimento para cima seguido de um movimento para baixo resulte no mesmo preço que um movimento para baixo seguido de um movimento para cima.

Notação Utilizada no Modelo

Valor da Opção no Vencimento

No vencimento, o valor de uma opção é determinado por seu payoff, que depende do preço do ativo-objeto (S_T) e do preço de exercício (X):

Call no vencimento: C_T = max(0, S_T – X)

Put no vencimento: P_T = max(0, X – S_T)

Classificação de Opções pelo Moneyness

Baseado na relação entre o preço do ativo (S) e o preço de exercício (X), as opções são classificadas como:

• In-the-money (ITM):
  • Call: S > X (já possui valor intrínseco)
  • Put: S < X (já possui valor intrínseco)
• At-the-money (ATM):
  • Call e Put: S ≈ X (preço do ativo próximo ao preço de exercício)
• Out-of-the-money (OTM):
  • Call: S < X (sem valor intrínseco)
  • Put: S > X (sem valor intrínseco)

O “moneyness” afeta significativamente o valor da opção e seu comportamento. Opções ITM possuem valor intrínseco, enquanto opções OTM possuem apenas valor tempo.

3. Delta Hedging e Portfólio Replicador

A essência do modelo binomial está na criação de um portfólio que replica perfeitamente o comportamento da opção em todos os estados possíveis. Esta estratégia é conhecida como “delta hedging” e representa um princípio fundamental na teoria de apreçamento de opções.

Conceito de Replicação de Portfólio

A replicação se baseia no princípio de que dois ativos (ou portfólios) com fluxos de caixa idênticos em todos os estados da natureza devem ter o mesmo preço para evitar arbitragem. Se construirmos um portfólio que replica exatamente os resultados da opção, esse portfólio deve valer o mesmo que a opção.

Considere um portfólio composto por:

• Δ unidades do ativo-objeto (ações)
• B₀ investido em um título livre de risco

Este portfólio deve ter exatamente o mesmo valor que a opção em todos os estados futuros possíveis:

No estado de alta: Δ × S₀u + B₀ × (1+r_f)^Δt = C_u

No estado de baixa: Δ × S₀d + B₀ × (1+r_f)^Δt = C_d

Onde: C_u = valor da call no estado de alta, C_d = valor da call no estado de baixa

Alternativamente, usando juros contínuos:

No estado de alta: Δ × S₀u + B₀ × e^r_fΔt = C_u

No estado de baixa: Δ × S₀d + B₀ × e^r_fΔt = C_d

Cálculo de Delta e B₀

Resolvendo este sistema de duas equações e duas incógnitas (Δ e B₀), obtemos:

Delta (Δ) = (C_u – C_d) / [S₀(u – d)]

B₀ = (u × C_d – d × C_u) / [(u – d) × (1+r_f)^Δt] (com juros efetivos)

B₀ = (u × C_d – d × C_u) / [(u – d) × e^r_fΔt] (com juros contínuos)

O valor inicial da opção (C₀) é então dado por:

C₀ = Δ × S₀ + B₀

Interpretação Financeira de Delta

O valor de Delta (Δ) tem uma importante interpretação financeira:

• Representa a sensibilidade do preço da opção em relação a variações no preço do ativo-objeto
• Indica a quantidade do ativo-objeto necessária para criar o portfólio replicador
• Atua como uma medida de cobertura (hedge) para neutralizar o risco de preço
• Varia entre 0 e 1 para calls e entre -1 e 0 para puts

Exemplo: Uma ação custa hoje R$100,00 e em um ano pode valer R$110,00 ou R$90,00. Qual é o valor justo de uma opção de compra com preço de exercício de R$105,00 e vencimento em um ano? Considere a taxa livre de risco de 5% ao ano.

Passo 1: Determinar os valores da opção nos estados finais

• No estado de alta: C_u = max(0, 110 – 105) = R$5,00
• No estado de baixa: C_d = max(0, 90 – 105) = R$0,00

Passo 2: Calcular Delta (Δ)

Δ = (5 – 0) / [100 × (1,1 – 0,9)] = 5 / (100 × 0,2) = 5 / 20 = 0,25

Passo 3: Calcular B₀ (usando juros efetivos)

B₀ = (1,1 × 0 – 0,9 × 5) / [(1,1 – 0,9) × (1+0,05)] = -4,5 / (0,2 × 1,05) = -21,43

Alternativamente, usando juros contínuos:

B₀ = (1,1 × 0 – 0,9 × 5) / [(1,1 – 0,9) × e^0,05] = -4,5 / (0,2 × 1,0513) = -21,43

Passo 4: Calcular o valor da opção

C₀ = 0,25 × 100 + (-21,43) = 25 – 21,43 = R$3,57

Portanto, o valor justo da opção de compra é R$3,57.

Verificação: Vamos confirmar se o portfólio realmente replica o valor da opção em cada estado.

Estado de alta:

Valor do portfólio = 0,25 × 110 + (-21,43) × 1,05 = 27,5 – 22,5 = R$5,00 ✓

Estado de baixa:

Valor do portfólio = 0,25 × 90 + (-21,43) × 1,05 = 22,5 – 22,5 = R$0,00 ✓

Figura 2: Exemplo de portfólio replicador para uma call com X = R$105,00

Exemplo de Cálculo para uma Opção de Venda (Put)

Exemplo de Put: Para a mesma ação do exemplo anterior (S₀ = R$100,00, u = 1,1, d = 0,9), vamos calcular o valor de uma opção de venda com preço de exercício X = R$95,00 e vencimento em um ano. Taxa livre de risco de 5% ao ano.

Passo 1: Determinar os valores da put nos estados finais

• No estado de alta: P_u = max(0, 95 – 110) = R$0,00
• No estado de baixa: P_d = max(0, 95 – 90) = R$5,00

Passo 2: Calcular Delta (Δ)

Δ = (0 – 5) / [100 × (1,1 – 0,9)] = -5 / 20 = -0,25

Note que para puts, o Delta é negativo, indicando que precisamos vender o ativo (posição vendida) para replicar o comportamento da opção.

Passo 3: Calcular B₀

B₀ = (1,1 × 5 – 0,9 × 0) / [(1,1 – 0,9) × 1,05] = 5,5 / 0,21 = 26,19

Passo 4: Calcular o valor da opção

P₀ = (-0,25) × 100 + 26,19 = -25 + 26,19 = R$1,19

Portanto, o valor justo da opção de venda é R$1,19.

Verificação:

Estado de alta: -0,25 × 110 + 26,19 × 1,05 = -27,5 + 27,5 = R$0,00 ✓

Estado de baixa: -0,25 × 90 + 26,19 × 1,05 = -22,5 + 27,5 = R$5,00 ✓

4. Probabilidade Neutra a Risco

Outra maneira de formular o modelo binomial é através do conceito de probabilidade neutra a risco. Esta é uma abordagem matemática que permite calcular o valor da opção como o valor presente esperado do payoff futuro, descontado pela taxa livre de risco.

Formulação com Juros Efetivos

C₀ = [q × C_u + (1 – q) × C_d] / (1+r_f)^Δt

Onde:

q = [(1+r_f)^Δt – d] / (u – d)

1 – q = [u – (1+r_f)^Δt] / (u – d)

Formulação com Juros Contínuos

C₀ = [q × C_u + (1 – q) × C_d] / e^r_fΔt

Onde:

q = (e^r_fΔt – d) / (u – d)

1 – q = (u – e^r_fΔt) / (u – d)

Equivalência entre Juros Efetivos e Contínuos

As duas formulações são matematicamente equivalentes quando consideramos a relação:

e^r_fΔt = (1+r_ef)^Δt

Onde r_ef é a taxa efetiva equivalente à taxa contínua r_f. A conversão entre as taxas é dada por:

r_ef = e^r_f – 1

r_f = ln(1+r_ef)

Para pequenos intervalos de tempo ou taxas baixas, as diferenças entre os resultados são mínimas, mas em análises mais precisas ou com taxas elevadas, é importante manter a consistência na formulação utilizada.

O valor de q é denominado “probabilidade neutra a risco” do estado de alta e (1-q) é a probabilidade neutra a risco do estado de baixa. Estas probabilidades são teóricas e ajustadas para o risco de modo que:

q × S₀u + (1 – q) × S₀d = S₀ × e^r_fΔt

Ou seja, o retorno esperado de qualquer ativo sob as probabilidades neutras a risco é exatamente a taxa livre de risco.

Importante: Para que o modelo seja válido e não haja oportunidades de arbitragem, é necessário que:

d < e^r_fΔt < u

ou, de forma equivalente:

d < (1+r_f)^Δt < u

Esta condição garante que 0 < q < 1, tornando q uma probabilidade válida.

Continuando o exemplo anterior:

Calculando a probabilidade neutra a risco (com juros contínuos):

q = (e^0,05 – 0,9) / (1,1 – 0,9) = (1,0513 – 0,9) / 0,2 = 0,1513 / 0,2 ≈ 0,7564 (75,64%)

Alternativamente, usando juros efetivos:

q = [(1+0,05) – 0,9] / (1,1 – 0,9) = (1,05 – 0,9) / 0,2 = 0,15 / 0,2 = 0,75 (75%)

A pequena diferença nos resultados (75,64% vs. 75%) deve-se ao fato de que e^0,05 = 1,0513, que é ligeiramente diferente de 1,05.

Calculando o valor da opção (com juros contínuos):

C₀ = [0,7564 × 5 + (1 – 0,7564) × 0] / e^0,05 = [3,782 + 0] / 1,0513 ≈ 3,60

Este resultado é ligeiramente diferente do calculado pelo método do portfólio replicador devido a arredondamentos, mas a abordagem matemática é equivalente.

Interpretação Financeira de q

A probabilidade neutra a risco não representa a probabilidade real de subida ou descida do ativo. Em vez disso, é um artifício matemático que permite:

• Descontar os fluxos futuros pela taxa livre de risco
• Calcular o preço único da opção independentemente das preferências de risco dos investidores
• Garantir a ausência de oportunidades de arbitragem
• Simplificar o cálculo em modelos multinomiais e árvores mais complexas

Figura 3: Limites para a probabilidade neutra a risco (q)

5. Modelo Binomial Multiperiodo

Até agora, consideramos apenas um único passo no modelo binomial. Na prática, utilizamos vários períodos (multiperiodo) para aumentar a precisão do apreçamento. Isso permite que o ativo-objeto siga um maior número de caminhos possíveis.

Árvore Binomial de Dois Períodos

Em um modelo de dois períodos, o ativo pode seguir um dos seguintes caminhos:

• Estado de alta seguido de alta: S₀ → S₀u → S₀u²
• Estado de alta seguido de baixa: S₀ → S₀u → S₀ud
• Estado de baixa seguido de alta: S₀ → S₀d → S₀du
• Estado de baixa seguido de baixa: S₀ → S₀d → S₀d²

Note que S₀ud = S₀du, o que resulta em uma recombinação dos nós da árvore, gerando três valores distintos no segundo período em vez de quatro.

Figura 4: Árvore binomial recombinante de dois períodos

Cálculo Recursivo com Probabilidades Neutras a Risco

O valor da opção é calculado recursivamente, começando pelo vencimento (último período) e trabalhando de trás para frente até o período inicial:

1. Calcular os valores da opção nos nós finais (período T)
2. Para cada nó em períodos intermediários, usar a fórmula da probabilidade neutra a risco:

   C_i,j = [q × C_i+1,j+1 + (1-q) × C_i+1,j] / (1+r_f)^Δt

   onde i representa o período e j a posição vertical no nó.

3. Repetir até chegar ao nó inicial (período 0)

Para opções americanas, é necessário verificar em cada nó se o exercício antecipado é mais vantajoso:

Para call americana: C_i,j = max{[q × C_i+1,j+1 + (1-q) × C_i+1,j] / (1+r_f)^Δt, S_i,j – X}

Para put americana: P_i,j = max{[q × P_i+1,j+1 + (1-q) × P_i+1,j] / (1+r_f)^Δt, X – S_i,j}

Exemplo com Árvore de Dois Períodos: Uma ação custa hoje R$100,00, com u = 1,1 e d = 0,9. Calcule o valor de uma opção de compra europeia com preço de exercício de R$100,00 e vencimento em dois períodos. Taxa livre de risco de 5% por período.

Passo 1: Calcular os preços da ação em cada nó

• S₀ = R$100,00
• S₀u = R$100,00 × 1,1 = R$110,00
• S₀d = R$100,00 × 0,9 = R$90,00
• S₀u² = R$100,00 × 1,1² = R$121,00
• S₀ud = R$100,00 × 1,1 × 0,9 = R$99,00
• S₀d² = R$100,00 × 0,9² = R$81,00

Passo 2: Calcular os valores da opção nos nós finais

• C_u² = max(0, 121 – 100) = R$21,00
• C_ud = max(0, 99 – 100) = R$0,00
• C_d² = max(0, 81 – 100) = R$0,00

Passo 3: Calcular a probabilidade neutra a risco

q = (1,05 – 0,9) / (1,1 – 0,9) = 0,15 / 0,2 = 0,75

Passo 4: Calcular os valores da opção nos nós intermediários

• C_u = [0,75 × 21 + 0,25 × 0] / 1,05 = 15,75 / 1,05 ≈ R$15,00
• C_d = [0,75 × 0 + 0,25 × 0] / 1,05 = 0 / 1,05 = R$0,00

Passo 5: Calcular o valor inicial da opção

C₀ = [0,75 × 15 + 0,25 × 0] / 1,05 = 11,25 / 1,05 ≈ R$10,71

Portanto, o valor justo da opção de compra europeia é R$10,71.

Figura 5: Exemplo de árvore binomial de dois períodos para ação e opção de compra

Considerações sobre Opções Americanas

O modelo binomial é particularmente útil para precificar opções americanas, que podem ser exercidas a qualquer momento até o vencimento. Para cada nó da árvore, compara-se:

1. O valor de continuação (manter a opção)
2. O valor de exercício imediato

Importante: Para puts americanas sobre ações que não pagam dividendos, o exercício antecipado pode ser ótimo em alguns nós. Para calls americanas sobre ações sem dividendos, nunca é ótimo exercer antecipadamente (equivalente à opção europeia).

Quando o ativo-objeto paga dividendos, tanto puts quanto calls americanas podem ter valor de exercício antecipado. O modelo binomial permite incorporar facilmente o pagamento de dividendos, ajustando o preço do ativo após cada data ex-dividendo.

6. Volatilidade e Parâmetros do Modelo

A calibração correta dos parâmetros é essencial para o bom funcionamento do modelo binomial. O mais importante deles é a volatilidade (σ), que determina os fatores de alta (u) e baixa (d).

Relação entre Volatilidade e Fatores u/d

No modelo CRR original, os fatores u e d são definidos em função da volatilidade e do intervalo de tempo:

u = e^σ√Δt

d = e^-σ√Δt = 1/u

Onde:

• σ é a volatilidade anualizada do ativo (desvio-padrão dos retornos)
• Δt é o intervalo de tempo entre cada período, expresso em anos
• Se dividirmos o tempo total T em N períodos, então Δt = T/N

Convergência para o Modelo de Black-Scholes

Uma propriedade importante do modelo binomial CRR é que, à medida que o número de períodos N aumenta (e, consequentemente, Δt diminui), o preço calculado converge para o preço do modelo de Black-Scholes. Isso ocorre porque a distribuição discreta dos preços futuros se aproxima da distribuição log-normal contínua assumida por Black-Scholes.

Para N suficientemente grande, a diferença entre os dois métodos torna-se desprezível, o que demonstra a consistência matemática entre as abordagens.

Estimando a Volatilidade

A volatilidade pode ser estimada de diferentes formas:

• Volatilidade histórica: Calculada a partir dos retornos passados do ativo
• Volatilidade implícita: Derivada dos preços de mercado das opções, usando o modelo de forma reversa
• Volatilidade projetada: Baseada em modelos de previsão ou expectativas de mercado

A fórmula para estimar a volatilidade histórica é:

σ = √[∑(R_i – R̄)² / (n-1)] × √252

Onde:

R_i = ln(S_i/S_i-1) são os retornos logarítmicos diários

R̄ é a média dos retornos

n é o número de observações

√252 é o fator de anualização para dias úteis

7. Aplicações Práticas e Extensões do Modelo

O modelo binomial tem amplas aplicações no mercado financeiro e pode ser estendido para situações mais complexas.

Aplicações Práticas

• Precificação de opções exóticas: Opções com payoffs não-padrão que dependem do caminho do preço (path-dependent)
• Análise de produtos estruturados: Combinações de instrumentos de renda fixa com derivativos
• Avaliação de opções reais: Decisões empresariais com flexibilidade gerencial
• Gestão de riscos: Cálculo de sensibilidades (gregas) para estratégias de cobertura

Extensões do Modelo Binomial

• Árvores trinomiais: Três movimentos possíveis (alta, neutro, baixa) em cada período
• Volatilidade estocástica: Volatilidade que varia ao longo do tempo
• Modelos de reversão à média: Para ativos que tendem a reverter a um nível médio
• Modelos de saltos: Para incorporar movimentos bruscos nos preços

Cálculo das “Gregas”

O modelo binomial permite calcular as sensibilidades da opção (gregas) em relação a diferentes parâmetros:

Estas “gregas” são fundamentais para a gestão de riscos e estratégias de cobertura (hedging).

8. Implementação Prática do Modelo Binomial

A implementação do modelo binomial pode ser feita de forma eficiente em várias linguagens de programação. Abaixo, apresentamos um pseudocódigo para a precificação de opções europeias e americanas:

Função PrecificarOpcaoBinomial(S0, X, T, r, sigma, tipo, estilo, N)
    # S0: preço inicial do ativo
    # X: preço de exercício
    # T: tempo até o vencimento (anos)
    # r: taxa livre de risco
    # sigma: volatilidade
    # tipo: "call" ou "put"
    # estilo: "europeia" ou "americana"
    # N: número de períodos
    dt = T/N
    u = exp(sigma * sqrt(dt))
    d = 1/u
    q = (exp(r * dt) - d) / (u - d)  # probabilidade neutra a risco
    # Criar árvore de preços do ativo
    precos = matriz[N+1][N+1]
    para i de 0 até N:
        para j de 0 até i:
            precos[i][j] = S0 * (u^j) * (d^(i-j))
    # Calcular valores da opção nos nós finais
    opcao = matriz[N+1][N+1]
    para j de 0 até N:
        se tipo == "call":
            opcao[N][j] = max(0, precos[N][j] - X)
        senão:  # put
            opcao[N][j] = max(0, X - precos[N][j])
    # Calcular valores da opção nos nós intermediários (backward induction)
    para i de N-1 até 0 (decrescente):
        para j de 0 até i:
            # Valor de continuação
            continuacao = (q * opcao[i+1][j+1] + (1-q) * opcao[i+1][j]) * exp(-r * dt)
            se estilo == "americana":
                # Verificar exercício antecipado
                se tipo == "call":
                    exercicio = max(0, precos[i][j] - X)
                senão:  # put
                    exercicio = max(0, X - precos[i][j])
                opcao[i][j] = max(continuacao, exercicio)
            senão:  # europeia
                opcao[i][j] = continuacao
    retornar opcao[0][0]  # Valor inicial da opção
            

9. Paridade Put-Call

A relação de paridade put-call é um princípio fundamental em finanças que estabelece uma relação de equilíbrio entre os preços de opções de compra e de venda com as mesmas características.

Para opções europeias sem dividendos:

C₀ – P₀ = S₀ – X × e^-r_fT

ou, equivalentemente:

C₀ + X × e^-r_fT = P₀ + S₀

Este princípio afirma que um portfólio composto por uma call e um valor presente do preço de exercício deve valer o mesmo que um portfólio composto por uma put e o ativo-objeto.

A paridade put-call pode ser usada para:

• Verificar a consistência dos preços de mercado
• Identificar oportunidades de arbitragem
• Calcular o preço de uma opção conhecendo o preço da outra

Extensões da Paridade Put-Call

A fórmula básica pode ser ajustada para considerar diferentes situações:

• Com dividendos: C₀ – P₀ = S₀ × e^-q×T – X × e^-r_fT, onde q é a taxa de dividendos
• Para opções americanas: A relação de paridade se torna uma desigualdade devido à possibilidade de exercício antecipado

10. Conclusão

O modelo binomial de Cox, Ross e Rubinstein representa uma ferramenta fundamental para o apreçamento de opções financeiras. Suas principais vantagens incluem:

• Simplicidade conceitual e implementação acessível
• Flexibilidade para precificar diferentes tipos de opções (europeias, americanas, exóticas)
• Capacidade de incorporar características específicas (dividendos, exercício antecipado)
• Possibilidade de visualizar o valor da opção em cada nó da árvore
• Convergência para o modelo de Black-Scholes quando o número de períodos aumenta

A compreensão do modelo binomial proporciona insights valiosos sobre os princípios fundamentais de apreçamento de derivativos e a relação entre risco e retorno nos mercados financeiros. Por sua simplicidade didática e robustez teórica, o modelo continua sendo amplamente utilizado tanto no ambiente acadêmico quanto no mercado profissional.

Referências

• Cox, J. C., Ross, S. A., & Rubinstein, M. (1979). Option pricing: A simplified approach. Journal of Financial Economics, 7(3), 229-263.
• Hull, J. C. (2018). Options, Futures, and Other Derivatives (10th ed.). Pearson.
• McDonald, R. L. (2013). Derivatives Markets (3rd ed.). Pearson.
• Shreve, S. E. (2004). Stochastic Calculus for Finance I: The Binomial Asset Pricing Model. Springer.
• Wilmott, P. (2006). Paul Wilmott on Quantitative Finance (2nd ed.). John Wiley & Sons.
• Neftci, S. N. (2008). Principles of Financial Engineering (2nd ed.). Academic Press.