Missão Binomial · o sósia da opção

Precificar por não arbitragem, montar Δ e B₀, e detectar oportunidade de arbitragem.

Cenário de treino aleatório

A ação da AeroLuz S.A. vale hoje R$ 52. Em 1 ano, ela poderá valer R$ 68 ou R$ 44. Uma call europeia com strike R$ 50 vence em 1 ano. A taxa livre de risco efetiva é 8% a.a. O mercado está negociando essa call por R$ 7,20.

Seu trabalho é achar o preço justo sem chute. Finanças de verdade não pede fé, pede replicação.

Dados

S₀52

Sᵤ68

S_d44

X50

1 + Rf1,08

Objetivo

Passo 1Cᵤ e C_d

Passo 2Δ e B₀

Passo 3C₀ justo

Passo 4arbitragem

Repita até ficar automático.

a)

Calcule os payoffs da call no vencimento.

0,5 pt

Cᵤ =C_d =

Resolução

b)

Ache o portfólio replicador da call, isto é, Δ ações e B₀ em títulos.

0,8 pt

Casca de banana: para call, neste caso, Δ fica entre 0 e 1. O sinal de B₀ conta uma história importante.

Δ =B₀ =

Resolução

c)

Calcule o preço justo da call. Depois classifique a cotação de mercado e escolha a arbitragem correta.

1,0 pt

C₀ justo =

Resolução

02

Missão Paridade · o cofre sem truque

Aplicar put-call parity, montar sintéticas e identificar o lado barato e o lado caro.

Mesa de arbitragem aleatória

A ação da MineraSul vale hoje R$ 71. Há uma call europeia e uma put europeia, ambas com strike R$ 74 e vencimento em 1 ano. A taxa livre de risco efetiva é 6% a.a. A call vale R$ 6,80. A put de mercado está em R$ 8,10.

Se a put estiver cotada errada, alguém está deixando dinheiro na mesa. A pergunta é: quem?

Aqui o vilão costuma ser o valor presente do strike.

a)

Calcule a put justa pela paridade put-call.

0,7 pt

P₀ justo =

Resolução

b)

Com a put de mercado observada, qual lado está caro? E qual é a arbitragem correta?

1,0 pt

Resolução

c)

Treino rápido de sintéticas. Escolha a alternativa correta em cada linha.

0,8 pt

Ativo desejado	Escolha
Call sintética
Ação sintética
Título livre de risco sintético

Resolução

Da paridade: C + VP(X) = P + S Logo: Call = Put + Ação − VP(X) Ação = Call + VP(X) − Put VP(X) = Put + Ação − Call

03

Missão FinCorp · opção real + Merton

Treinar a lógica de expansão, equity como call, probabilidade de falência e Rb.

Caso A · opção real

A BioVale estuda investir R$ 95 milhões hoje num projeto cujo valor presente base é R$ 90 milhões. Em 1 ano, o projeto-base poderá valer R$ 126 milhões ou R$ 72 milhões. Se o cenário for favorável, a empresa pode investir mais R$ 18 milhões para lançar uma linha premium, cujo valor adicional será 20% do valor do projeto-base naquele momento. Taxa livre de risco: 5% a.a.

Caso B · Merton

A LogiCore tem ativos hoje de R$ 180 milhões e uma dívida zero cupom de face R$ 190 milhões vencendo em 1 ano. Em 1 ano, os ativos valerão R$ 240 milhões ou R$ 150 milhões. Taxa livre de risco: 5% a.a.

Essa missão troca os números a cada rodada.

a)

Caso A: qual é o VPL convencional e qual é o payoff da opção de expansão em cada estado?

1,0 pt

VPL convencional =

Payoff expansão no estado alto =

Payoff expansão no estado baixo =

Resolução

b)

Ainda no Caso A, calcule q, o valor hoje da opção de expansão e marque a conclusão correta sobre o VPL estratégico.

1,0 pt

Dica: u = V_alto / VP_base, d = V_baixo / VP_base, q = ((1+Rf) − d)/(u − d).

q =Valor da opção =

Resolução

c)

Caso B: trate o patrimônio líquido como uma call sobre os ativos e calcule PL₀, Dívida₀, probabilidade neutra de falência e Rb.

1,5 pt

PL₀ =Dívida₀ =

Prob. neutra de falência =Rb (%) =

Resolução

04

Missão Final · Black-Scholes sem fumaça

Fechamento com cálculo direto, leitura conceitual e diferenças entre binomial, B&S e probabilidade neutra.

Fechamento aleatório

Considere uma call europeia da NeoGrid com: S₀ = 64, X = 60, T = 0,5, r = 8% a.a. contínua, sem dividendos, e volatilidade anual σ = 28%. Para ajudar, o sistema calculou: N(d₁)=0,7054 e N(d₂)=0,6221.

Seu objetivo é mostrar que entendeu a lógica, não decorar nome bonito.

B&S também entra no rodízio.

a)

Calcule o valor da call por Black-Scholes.

0,9 pt

Use C = S₀N(d₁) − Xe^−rTN(d₂).

Call =

Resolução

b)

Julgue as afirmações. Aqui é para checar se a cabeça está no lugar.

1,3 pt

Afirmação	Escolha
I. No modelo B&S, N(d₁) está ligado ao delta da call.
II. No binomial, q é a probabilidade real de a ação subir.
III. Em opções reais, a opção de abandonar se assemelha a uma put.
IV. Em Merton, maior volatilidade dos ativos tende a reduzir o spread da dívida.

Comentários

I. V — leitura didática padrão: N(d₁) ≈ delta. II. F — q é probabilidade neutra a risco, não probabilidade real. III. V — abandono = direito de vender/sair por um valor conhecido. IV. F — maior volatilidade tende a aumentar o risco de crédito e, logo, o spread.

c)

Escolha as palavras que melhor diferenciam binomial e Black-Scholes.

0,8 pt

Marque a combinação mais correta.

Simulado concluído

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